LE THEOREME DES SIX EXPONENTIELLES

 

Ce théorème est la partie la plus importante de la démonstration du théorème central de cette étude.

Théorème des Six Exponentielles.

Si {x1, x2, x3, y1, y2} est un ensemble de nombres complexes tels que {x1, x2, x3} et {y1, y2} sont tous les deux linéairement indépendants sur Q (le corps des nombres rationnels), alors au moins un des exp(xiyi) (i=1, 2, 3 ; j=1, 2) est transcendant.

Peu de résultats avaient été établis sur l'indépendance algébrique proprement dite, des nombres transcendants.
Le seul travail dans ce contexte préliminaire au Théorème des Six Exponentielles est basé sur les études de Gelfond, exécutées en 1949.
Dans les années 70, de nombreux auteurs ont obtenu d'importantes améliorations dans cette suite d'idées, qui seront le thème de ce paragraphe.
Le caractère essentiel du résultat est bien illustré par :

Théorème 1.

Si x1, x2, x3 et h1, h2, h3 sont tous les deux linéairement indépendants sur les rationnels, alors deux au moins de ces nombres xi, exp(xihj) (1 £ i, j £ 3) sont algébriquement indépendants.

Gelfond a prouvé ce théorème avec certaines conditions supplémentaires, la formulation ici est due à Tijdeman.
Comme conséquence, on voit que :
Si a est un nombre algébrique autre que 0 ou 1, et b est un irrationnel cubique, c'est-à-dire de degré 3, alors ab, sont algébriquement indépendants, ce qui découle du Théorème 1, en prenant xj = bj-1 et hj = xj log a.
On observe immédiatement que :

Propriété.

Si x1,,xn sont algébriquement indépendants, alors x1,,xn sont transcendants.

Preuve.
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe un certain indice i Î {1,,n} tel que xi soit algébrique.
Notons f Î Q[X] son polynôme minimal.
Soit P Î Q[X1,,Xn] tel que P(X1,,Xn) = f(Xi).
On a P(x1,,xi,,xn) = f(xi) = 0 et P ¹ 0, d'où contradiction, car x1,,xn sont algébriquement indépendants.

Tijdeman a aussi établi deux variantes du Théorème 1. Il a prouvé que si x1, x2, x3, x4 et h1, h2 sont linéairement indépendants sur les rationnels, alors deux au moins de xi, sont algébriquement indépendants. Et d'autre part que si x1, x2, x3 et h1, h2 sont linéairement indépendants sur les rationnels, alors deux au moins de xi, sont algébriquement indépendants.
Peu après, Brownawell et Waldschmidt se sont succédés indépendamment pour obtenir une nouvelle version du dernier résultat. Ils ont prouvé :

Théorème 2.

Si x1, x2 et h1, h2 sont tous les deux linéairement indépendants sur les rationnels et si exp(x1h2) exp(x2h2) sont algébriques, alors deux au moins de ces nombres xi, hj, exp(xihj) (1 £ i, j £ 2) sont algébriquement indépendants.

Cela implique en particulier que si x1 et x2 d'une part et h1 et h2 d'autre part sont Q-linéairement indépendants, alors deux nombres différents parmi les nombres xi, hj, sont transcendants.

Exemple.

On prend x1 = h1 = 1 et x2 = h2 = e. Alors, un (au moins) des deux nombres ee et ee² est transcendant.

De plus, d'après le Théorème 2, on voit par exemple qu'au moins un des nombres alog a et a(log a est transcendant lorsque a est algébrique (a ¹ 0 ;a ¹ 1). Ces résultats représentent la meilleure approche que nous ayons vers une preuve que les nombres du type log p et ep² sont transcendants.

Dans cette voie, c'est Lang qui a prouvé le Théorème que nous appelons le Théorème des Six Exponentielles.

Théorème des Six Exponentielles.

Si x1, x2, x3 et h1, h2 sont Q-linéairement indépendants, alors un au moins des exp(xihj) est transcendant.

Etonnamment, la démonstration du Théorème des Six Exponentielles est plus simple que celles des Théorèmes 1 et 2, et ce résultat admet des corollaires plus importants. C'est ceux-là que nous utiliserons dans la démonstration générale du théorème, présentée par Glass et Ribenboim, que nous étudions.

Proposition.

Soit a un réel quelconque et b un nombre transcendant.
Alors a et ab sont Q-linéairement indépendants.

Preuve.

Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe p, q rationnels, p ¹ 0 et q ¹ 0, tels que pa + qab = 0
Þ a (p + qb ) = 0
Þ p + qb = 0
Þ b = -p/q
Or b est transcendant, donc irrationnel d'où contradiction.

Exemple.

Soient a un nombre algébrique quelconque, a ¹ 0 et a ¹ 1 et b un nombre transcendant. On pose x1 = 1, x2 = b, x3 = b² et h1 = log a, h2 = b log a.
x1, x2 et x3 sont Q-linéairement indépendants car sinon, il existerait a, b et c tels que a + bb + cb² = 0 et dans ce cas b serait algébrique.
h1 et h2 sont également Q-linéairement indépendants, d'après la proposition précédente.

Ainsi, un des nombres a, ab, ab², ab, ab², ab³ est transcendant. Or a est algébrique par hypothèse, donc un des nombres ab, ab², ab³ est transcendant. 

Nous avons appris qu'en fait, ce résultat restait vrai pour tout irrationnel b (c'est le théorème de Gelfond-Schneider).

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